PRODUCTO PUNTO DE VECTORES

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Producto Punto de vectores

El producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Más específicamente, es una aplicación cuyo dominio es V ² y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo.[5]​ Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídeatradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Donde V {\displaystyle V\;}es un espacio vectorial y K{\displaystyle \mathbb {K} } es el cuerpo sobre el que está definido V{\displaystyle V\;}. La función (.,.) {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } (que toma como argumentos dos elementos de V {\displaystyle V\;}, y devuelve un elemento del cuerpo K {\displaystyle \mathbb {K} }) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. 1.     Linealidad por la izquierda:

(ax+by, z) = a (x, z)+b (y, z)

 {\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle }y linealidad conjugada por la derecha: {\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }

(x, ay + bz) = a (x, y) + b (x, z)

2.  Hermiticidad:

{\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }

3. Definida positiva:   si y sólo si x = 0

donde x,y,z{\displaystyle x,y,z\in V} € V son vectores de V,a,b  €  K {\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }representan escalares del cuerpo K {\displaystyle \mathbb {K} } y c {\displaystyle {\overline {c}}}es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., R) {\displaystyle \mathbb {R} }, la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo {\displaystyle \mathbb {R} } R o C{\displaystyle \mathbb {C} } dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

Propiedades del producto punto

1 Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Ejercicio

Dados los vectores  y  hallar:

1.Los módulos de  y ·

2.El producto escalar de  y ·

3.El ángulo que forman.

4.El valor de m para que los vectores  y  sean ortogonales.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas urgentes.

Que tu cabeza sea donde se amontonan todas las riquezas del mundo.

Y…

Recuerda no puedes matar lo que no has creado, asi lo dijo Corey Taylor en una canción para Slipknot.

Nada♡